Метод с инерцией
Метод с инерцией это тоже итерационный метод решения систем уравнений. С этим методом меня познакомил мой первый научный руководитель. Я до сих пор не знаю его ли это придумка или нет. С одной стороны я видел упоминание данного метода в какой-то советской книге (т.е. старой). С другой стороны в новой литературе и, например, в википедии о данном методе ни слова. Возможно я плохо искал. В любом случае этот метод никакая не тайна и сейчас я его опишу.
Метод последовательных приближений с инерцией
Метод последовательных приближений с «инерцией» можно представить итеративной формулой:
, где A это левая часть системы нелинейных уравнений. А операция скобок, это подстановка вместо вектора неизвестных x какого-то вектора x`, но так, чтобы степени в левой части были каждая на единицу меньше. К примеру, если существует такая система нелинейных уравнений:
То при подстановке в эту систему вектора y = (1, 2, 3) получим:
, т. е. линейную систему уравнений, которую можно решать методом Гаусса, Крамера или иным подходящим методом. Решение этой системы является следующим приближением xi+1.
Инерция заключается в том, что для получение нового приближения может быть использовано несколько предыдущих приближений. Для этого создаётся специальный вектор α, сумма элементов которого равна единице. А размер равен количеству предыдущих приближений, которые будут использоваться. Каждый вектор приближения xj умножается на элемент вектора αj, затем векторы суммируются и подставляются в левую часть системы нелинейных уравнений. Стартовый вектор x0 может быть заполнен единицами, либо его элементы заполняются случайно.
У данного метода тоже есть минусы, точнее один большой. По данному методу я делал курсовую и могу заявить, что как будут использоваться предыдущие приближения никто не знает. Другими словами если у нас есть несколько векторов приближений, то с какими коэффициентами их складывать, чтобы получилось решение текущей итерации не ясно. Более того при попытках подбора я запутался и на данный момент, что данный вектор коэффициентов зависит от самой системы уравнений. Тогда я пытался найти его методом случайного поиска, т.е. взяли какой-то, посмотрели сходимость. Лучше? Попытались немного изменить. Лучше? Нет! Тогда возвращаемся назад и пытаемся изменить по-другому. Думаю я разъясню это в дальнейших постах